行列式学习笔记

发布于 24 天前  32 次阅读


定义

行列式在数学中,是一个函数,其定义域为det的矩阵A,取值为一个标量,写作det(A)或 | A | 。

三阶行列式

avatar

n阶行列式

x阶行列式 avatar 是由排成n阶方阵形式的n²个数avatar(i,j=1,2,...,x)确定的一个数

行列式求值

avatar avatar

例如:三阶行列式

avatar

几种特殊的行列式

avatar avatar

行列式性质

前置知识

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  • 性质1

行列互换,行列式不变

行列互换其实就是一个矩阵的下标是avatar i和j互换,变成 avatar

为啥不变呢

因为原来生成的一个排列,例如2,1,4,3下标都是有序的,如果要把这个序列变成有序的,交换的次数就是逆序对的次数,而每交换一次,就会使新序列多一个逆序对,所以前后逆序对数都相等,r函数里的指数相等

  • 性质二

A和A的转置的行列式相等。也就是说,对于行列式,行和列的地位相同,凡是对行成立的性质对列也同样成立。

  • 性质三

两行互换,行列式反号

反号相当于交换两个数,会造成逆序对的奇偶性改变,所有的都改变……就反号了

  • 性质四

行列式的一行因子可以提出

也就是一行都有k这个因子,可以提出k,计算剩余矩阵的行列式,结果再乘k

  • 性质五

行列式 A 中有两行或两列元素对应成比例,则| A |=0

可以用性质三四推出

  • 性质六

单列或单行可拆性。如果某列可拆成两列的和,则行列式等于新拆成的两列代替原来的列所组成的两个新行列式的和。

  • 性质七

将一行的倍数加到另一行上,行列式不变

可以由性质五和六推出

计算行列式常用方法

  • (1)利用定义;

  • (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值。

行列式用处

行列式可以用来求解方程组

克拉默法则

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定理

  • 如果线性方程组的系数行列式不等于零,则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的

  • 如果线性方程组无解或有多个不同的解,则它的系数行列式必为零